Stabilità di una bottiglia

Qualche anno fa, quando a scuola andava di moda il bottle flipping, avevo trovato una graziosa condizione di stabilità sulla massa della bottiglia lanciata, che adesso cerco di recuperare.

Un recipiente di forma cilindrica è parzialmente riempito di un liquido. Vogliamo determinare la quantità di liquido da versare affinché il baricentro del sistema sia il più basso possibile, ovvero la condizione di massima stabilità. Le parenti del recipiente sono sufficientemente sottili da supporre che tutta la sua massa sia concentrata sulla superficie.

Costanti del problema:

• massa \(m_0\) del recipiente vuoto
• massa \(m_1\) complessiva quando il recipiente è completamente pieno
• altezza \(h_1\) del recipiente
• densità lineare \(\lambda\) del liquido nel recipiente

Come variabili consideriamo la massa complessiva \(m\) e il livello \(h\) raggiunto dal liquido.

Condizione di massima stabilità

Il baricentro del sistema è il più basso possibile quando \(m\) è la media geometrica tra le due masse estreme, ovvero \[m = \sqrt{m_0 \cdot m_1}\]

Dimostrazione

Data la simmetria del problema, i due baricentri del recipiente e del liquido si trovano rispettivamente a un'altezza \(h_1/2\) e \(h/2\) dalla base, dunque il baricentro del sistema è dato dalla media ponderata \[\begin{split} G &= \frac{1}{2m} \Big[ m_0 h_1 + (m - m_0)h \Big]\\ &= \frac{1}{2\lambda} \,\left( m + \frac{m_0 m_1}{m} - 2m_0 \right) \end{split}\] dove nel secondo passaggio si è tenuto conto della relazione \(m = m_0 + \lambda h\). In questo modo è immediato trovare la derivata di \(G\) rispetto alla variabile \(m\): \[ \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} m} = \frac{1}{2 \lambda} \left( 1 - \frac{m_0 m_1}{m^2} \right) \] La condizione di minimo può essere espressa come \(\mathrm{d}G /\mathrm{d} m =0\), che in conclusione diventa \(m = \sqrt{m_0 m_1}\).

TODO

Sarebbe interessante trovare una condizione simile nel caso più generale di un recipiente a simmetria cilindrica.